Residue 是什么
如果 $z_0$ 是孤立奇点，函数在 $z_0$ 附近有 Laurent expansion：
$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-z_0)^n $$Residue 是其中：
$$ c_{-1} $$也就是：
$$ \frac{c_{-1}}{z-z_0} $$这一项的系数。
记作：
$$ \operatorname{Res}(f,z_0) $$为什么偏偏是 $z^{-1}$ 项重要？
因为：
$$ \oint_C (z-z_0)^n\,dz=0 $$对所有 $n\neq -1$ 都成立，而：
$$ \oint_C \frac{1}{z-z_0}\,dz=2\pi i $$所以整个 Laurent series 里，闭合积分只会“看见”$-1$ 次幂项。
留数 = 过路费
可以用你笔记里的说法：
留数 = 过路费。
每当路径绕着一个奇点转一圈，这个奇点就贡献一次：
$$ 2\pi i\cdot \operatorname{Res}(f,z_0) $$如果路径围住多个奇点，贡献相加。
如果奇点在路径外面，它对积分没有贡献。
这和路径变形直觉一致：路径只关心自己绕住了哪些奇点。
Residue Theorem
Residue Theorem：
如果 $f$ 在闭合曲线 $C$ 上及其内部解析，除了有限个孤立奇点 $z_1,\ldots,z_k$，那么：
$$ \begin{aligned} \oint_C f(z)\,dz &=2\pi i\sum_{j=1}^{k}\operatorname{Res}(f,z_j) \end{aligned} $$这条定理把一个全局积分问题，降维成有限个局部系数问题。
不需要沿路径积分，不需要参数化曲线，只要找内部奇点并计算留数。
先看分母
做 residue problem 时，最先看分母。
分母告诉你极点在哪，极点决定用什么方法。
比如：
$$ \frac{P(z)}{Q(z)} $$极点来自：
$$ Q(z)=0 $$下一步看：
- 哪些极点在 contour 内部
- 它们是简单极点还是高阶极点
- 分子是否和分母发生对消
这个顺序比直接展开 Laurent series 快得多。
简单极点
如果 $z_0$ 是简单极点，那么：
$$ \begin{aligned} \operatorname{Res}(f,z_0) &=\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) \end{aligned} $$特别地，如果：
$$ f(z)=\frac{P(z)}{Q(z)} $$其中：
$$ Q(z_0)=0,\quad Q'(z_0)\neq 0,\quad P(z_0)\neq 0 $$那么：
$$ \operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{P(z_0)}{Q'(z_0)} $$这个公式非常常用。
例如：
$$ f(z)=\frac{1}{z^4+1} $$在简单根 $z_0$ 处：
$$ \operatorname{Res}(f,z_0)=\frac{1}{4z_0^3} $$因为分母导数是 $4z^3$。
高阶极点
如果 $z_0$ 是 $m$ 阶极点，那么：
$$ \begin{aligned} \operatorname{Res}(f,z_0) &=\frac{1}{(m-1)!} \lim_{z\to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}} \left[(z-z_0)^m f(z)\right] \end{aligned} $$直觉是：
先乘上 $(z-z_0)^m$，消掉主要爆炸项，让函数变回解析函数。
然后通过求导抽出原来 Laurent series 里的 $(z-z_0)^{-1}$ 系数。
一阶极点时，$m=1$，这个公式就退化成：
$$ \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) $$CIF 和 residue 的关系
Cauchy Integral Formula 其实是 residue theorem 的特殊形式。
如果：
$$ \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz $$其中 $f$ 在内部解析，那么 integrand 在 $z_0$ 有简单极点，留数是：
$$ f(z_0) $$所以 residue theorem 给出：
$$ \begin{aligned} \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz &=2\pi i f(z_0) \end{aligned} $$这正是 CIF。
高阶 CIF 也对应高阶极点留数计算。
例子：有理函数闭合积分
计算：
$$ \oint_{|z|=2}\frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz $$这里 $z=1$ 在圆内，是 3 阶极点。
用 generalized CIF：
$$ \begin{aligned} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^3}\,dz &=\frac{2\pi i}{2!}f''(z_0) \end{aligned} $$其中：
$$ f(z)=e^z,\quad z_0=1 $$所以：
$$ \begin{aligned} \oint_{|z|=2}\frac{e^z}{(z-1)^3}\,dz &=\pi i e \end{aligned} $$这类题不要真的参数化积分。它的结构已经告诉你该用 CIF / residue。
无穷远点留数
有时也会讨论无穷远点的留数。
定义：
$$ \begin{aligned} \operatorname{Res}(f,\infty) &=- \operatorname{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right),0\right) \end{aligned} $$还有一个很有用的结论：
所有有限奇点和无穷远点的留数总和为 0。
$$ \sum_{k}\operatorname{Res}(f,z_k)+\operatorname{Res}(f,\infty)=0 $$这有时可以用来快速算某个难算的留数。
Residue theorem 的计算流程
一个闭合 contour integral 通常按这个顺序：
- 找出所有分母为零的点
- 判断哪些在 contour 内部
- 判断极点阶数
- 选留数公式
- 求内部留数之和
- 乘以 $2\pi i$
- 如果 contour 是顺时针，结果取负
如果函数在 contour 内部没有奇点，结果就是 0。
如果奇点在 contour 外部，也不贡献。
如果奇点在 contour 上，需要额外处理，普通 residue theorem 不能直接套。
Residue theorem 的直觉
从 Cauchy’s Theorem 到 Residue Theorem，逻辑是连续的。
解析区域里没有奇点，闭合积分为 0。
如果有奇点，路径不能穿过它们，也不能把它们抹掉。
但每个孤立奇点对闭合积分的影响，只由 Laurent series 的 $c_{-1}$ 决定。
所以全局路径积分被压缩成：
路径绕住哪些奇点
每个奇点的 residue 是多少
这就是复积分的降维。
Part VI 里，实积分会被转成复平面里的闭合 contour integral，然后用 residue theorem 解决。