Contour integral

复积分沿路径进行。

如果路径 $C$ 可以参数化为：

$$ z=z(t),\quad a\leq t\leq b $$

那么：

$$ \begin{aligned} \int_C f(z)\,dz &=\int_a^b f(z(t))z'(t)\,dt \end{aligned} $$

这叫暴力参数化积分。

它是最底层的方法：把复积分转成实变量积分。

但复分析真正有意思的地方是，很多时候你不需要真的积分。解析性会让路径积分大幅简化。

Antiderivative and path independence

如果 $f$ 在区域内有 antiderivative $F$，也就是：

$$ F'(z)=f(z) $$

那么：

$$ \int_C f(z)\,dz = F(z(b))-F(z(a)) $$

积分只看起点和终点。

于是任何闭合路径都有：

$$ \oint_C f(z)\,dz=0 $$

这和实变量积分里的基本定理很像。

但复分析里更强的是：在合适区域中，解析性本身就会导致闭合积分为 0。

Cauchy’s Theorem

Cauchy’s Theorem 的基本形式：

如果 $f$ 在单连通区域 $D$ 内解析，那么对 $D$ 内任何闭合路径 $C$：

$$ \oint_C f(z)\,dz=0 $$

这里有两个关键词：

  • analytic
  • simply connected

Simply connected 可以直观理解为区域里没有洞。

如果区域里没有奇点形成的洞，闭合路径可以连续缩成一点。解析函数沿这样的闭合路径积分为 0。

这就是你笔记里的直觉：

在复平面，只要区域内没有“坑”（奇点），怎么走积分都是 0。

Deformation：橡皮筋理论

路径变形原则可以这样想：

积分路径像一根橡皮筋。

只要不被“钉子”（奇点）卡住，你可以随意把它捏扁、揉圆、拉伸，积分值不变。

如果两条闭合路径围住同一批奇点，并且变形过程中没有跨过奇点，那么：

$$ \oint_{C_1} f(z)\,dz = \oint_{C_2} f(z)\,dz $$

如果路径能缩到一个点，并且里面没有奇点，积分就是 0。

这条直觉非常重要。后面的 residue theorem 本质上就是：闭合积分只关心路径绕住了哪些奇点。

ML Estimate

有时候不需要精确计算积分，只需要证明它趋于 0 或者估计上界。

ML estimate：

如果在路径 $C$ 上：

$$ |f(z)|\leq M $$

路径长度是 $L$，那么：

$$ \left|\int_C f(z)\,dz\right|\leq ML $$

这条估计很朴素：积分的大小不超过最大高度乘路径长度。

它在实积分 contour method 里经常用来证明大圆弧上的积分消失。

Cauchy Integral Formula

Cauchy Integral Formula 是复分析里最核心的定理之一。

如果 $f$ 在闭合曲线 $C$ 及其内部解析，$z_0$ 在 $C$ 内部，那么：

$$ f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz $$

也可以写成：

$$ \oint_C \frac{f(z)}{z-z_0}\,dz=2\pi i f(z_0) $$

这条公式的直觉非常强：

解析函数在内部某一点的值，完全由边界上的积分决定。

这就是“边界决定内部”。

Generalized CIF

Cauchy Integral Formula 还有高阶导数版本：

$$ \begin{aligned} f^{(n)}(z_0) &=\frac{n!}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz \end{aligned} $$

等价地：

$$ \begin{aligned} \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}\,dz &=\frac{2\pi i}{n!}f^{(n)}(z_0) \end{aligned} $$

所以遇到：

$$ \oint_C \frac{f(z)}{(z-z_0)^m}\,dz $$

可以直接把它识别成导数公式：

$$ \frac{2\pi i}{(m-1)!}f^{(m-1)}(z_0) $$

这是一条结构结论，不只是技巧：解析函数的高阶导数也由边界控制。

解析函数自动无穷可导

在实分析里，一阶可导不代表二阶可导，更不代表无穷可导。

在复分析里，解析函数一旦成立，就自动有无穷多阶导数。

原因就在 generalized CIF。

如果 $f$ 解析，那么 $f^{(n)}(z_0)$ 可以用边界积分表示。这个公式对所有 $n$ 都成立。

所以 analytic 比 differentiable 强得多。

Cauchy Estimates

Cauchy Estimates 把 CIF 的刚性量化。

如果 $f$ 在圆盘：

$$ |z-z_0|\leq R $$

内解析，并且边界上：

$$ |f(z)|\leq M $$

那么：

$$ |f^{(n)}(z_0)| \leq \frac{n!M}{R^n} $$

直觉是：

解析函数非常刚性。边界上函数值最大是 $M$，圆盘半径是 $R$，那么圆心处第 $n$ 阶导数不能太大。

圆盘越大，限制越强。

特别是 entire function 可以取任意大的 $R$，于是这个估计会变得非常有力。

Liouville Theorem

Liouville Theorem：

如果 $f$ 是 entire function，并且有界，那么 $f$ 必须是常数。

证明直觉很短。

由 Cauchy estimate，对任意 $z_0$：

$$ |f'(z_0)|\leq \frac{M}{R} $$

因为 $f$ entire，半径 $R$ 可以任意大。

令：

$$ R\to\infty $$

得到：

$$ f'(z_0)=0 $$

由于 $z_0$ 任意，所以 $f'$ 处处为 0，$f$ 是常数。

这就是复分析的刚性最经典的体现：一个函数想在整个复平面上处处解析又处处有界，唯一办法就是常数。

Fundamental Theorem of Algebra

Liouville Theorem 可以证明代数基本定理。

结论：

任何非常数复系数多项式 $P(z)$ 都至少有一个复根。

反证。

假设 $P(z)$ 没有根，那么：

$$ f(z)=\frac{1}{P(z)} $$

在整个复平面解析，是 entire function。

当：

$$ |z|\to\infty $$

非常数多项式 $P(z)$ 的模长趋于无穷，所以：

$$ f(z)\to 0 $$

同时 $f$ 在有限区域内连续，因此有界。

于是 $f$ 是有界 entire function，由 Liouville Theorem，$f$ 必须是常数。

这意味着 $P$ 也是常数，矛盾。

所以 $P$ 必有根。

Maximum Modulus Principle

Maximum Modulus Principle：

非常数解析函数在区域内部不能取得最大模长。

最大值只能在边界上取到。

这和实函数完全不同。实函数可以在内部有局部最大值，比如 $1-x^2$。

解析函数的内部值被边界约束得太强。除非函数是常数，否则它不能在内部单独鼓起来。

这也是“边界决定内部”的另一种表达。

Part III 的核心线

这一部分的逻辑链是：

解析性
  → Cauchy's Theorem
  → 路径变形和闭合积分为 0
  → Cauchy Integral Formula
  → 边界决定内部
  → 自动无穷可导
  → Cauchy Estimates
  → Liouville / FTA / Maximum Modulus

复分析真正开始变强，就是从 Cauchy theory 开始。后面 Laurent series、singularity、residue theorem 都是在这个基础上继续展开。