复导数为什么更强
实函数的导数只需要从一条线的左右逼近。
复函数的导数定义看起来类似：
$$ f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} $$但 $\Delta z$ 是复数。它可以从平面上的任意方向趋近 0。
所以这个极限必须对所有逼近路径都一致。
这就是复可导比实可导强很多的原因。
一个函数如果只在某个方向上表现好，不够。它要在二维平面所有方向上都给出同一个线性近似。
Analyticity
函数在某点解析，意思是它在该点的某个邻域内可导。
注意这里不是只在一个点可导。
解析性是局部性质，需要一整个小圆盘。
如果函数在整个复平面解析，叫 entire function。
常见 entire functions：
- polynomial
- $e^z$
- $\sin z$
- $\cos z$
解析函数在复分析里是“完美”的函数。它不只是有一阶导数，后面会看到，它会自动有无穷多阶导数，而且可以被 power series 展开。
这就是复分析的刚性。
Cauchy-Riemann Equations
设：
$$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) $$其中 $z=x+iy$。
如果 $f$ 解析，并且偏导条件足够好，那么 $u$ 和 $v$ 满足 Cauchy-Riemann equations：
$$ u_x=v_y $$$$ u_y=-v_x $$这两条方程说明：实部和虚部不能随便选。
一个复函数看似由两个实函数 $u$ 和 $v$ 组成，但解析性会强行把它们绑在一起。
这和一般的二维向量场完全不同。大多数 $u+iv$ 都不是解析函数。
从方向极限看 C-R
复导数要求所有方向一致。
沿实轴方向逼近：
$$ \Delta z = \Delta x $$得到：
$$ f'(z)=u_x+iv_x $$沿虚轴方向逼近：
$$ \Delta z = i\Delta y $$得到：
$$ f'(z)=v_y-iu_y $$两者必须相等：
$$ u_x+iv_x = v_y-iu_y $$比较实部和虚部：
$$ u_x=v_y,\quad v_x=-u_y $$也就是 C-R equations。
这说明 C-R 方程不是凭空出现的。它来自“从不同方向求导必须得到同一个结果”。
一眼定生死
有一些表达式通常是非解析信号：
- $\bar z$
- $|z|$
- $\operatorname{Re}z$
- $\operatorname{Im}z$
原因是它们依赖 $z$ 和 $\bar z$ 的混合信息，破坏了复线性结构。
比如：
$$ f(z)=\bar z=x-iy $$这里：
$$ u=x,\quad v=-y $$所以：
$$ u_x=1,\quad v_y=-1 $$C-R 方程不成立。它不解析。
相反，如果函数只由 $z$ 通过 polynomial、exponential、trigonometric 这些解析操作组成，通常是解析的，只要避开分母为零和 branch cut。
点可导和解析不是一回事
有些函数可能在某个孤立点可导，但不解析。
比如：
$$ f(z)=|z|^2 $$写成：
$$ f(z)=x^2+y^2 $$在 $z=0$ 处，导数定义给出：
$$ \frac{|h|^2}{h} $$其模长是 $|h|$，趋向 0，所以在 0 可导。
但它不在 0 的任何邻域内都可导，因此不在 0 解析。
这点很重要：complex differentiable at a point 和 analytic at a point 不是同一件事。
Harmonic Functions
如果：
$$ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) $$解析，那么 $u$ 和 $v$ 都满足 Laplace equation：
$$ u_{xx}+u_{yy}=0 $$$$ v_{xx}+v_{yy}=0 $$满足 Laplace equation 的函数叫 harmonic function。
证明来自 C-R 方程。
由：
$$ u_x=v_y,\quad u_y=-v_x $$对第一式再对 $x$ 求导，对第二式再对 $y$ 求导：
$$ u_{xx}=v_{yx} $$$$ u_{yy}=-v_{xy} $$如果混合偏导相等，就得到：
$$ u_{xx}+u_{yy}=0 $$所以解析函数的实部和虚部天然是 harmonic。
Harmonic Conjugate
反过来，如果给定一个 harmonic function $u$，很多时候可以找一个 $v$，使得：
$$ f=u+iv $$解析。
这个 $v$ 叫 harmonic conjugate。
方法直接来自 C-R 方程：
$$ v_y=u_x $$$$ v_x=-u_y $$步骤：
- 算 $u_x,u_y$
- 从 $v_y=u_x$ 对 $y$ 积分，得到 $v$
- 用 $v_x=-u_y$ 修正积分时出现的 $g(x)$
比如：
$$ u(x,y)=x^3-3xy^2 $$有：
$$ u_x=3x^2-3y^2,\quad u_y=-6xy $$由：
$$ v_y=u_x=3x^2-3y^2 $$对 $y$ 积分：
$$ v=3x^2y-y^3+g(x) $$再用：
$$ v_x=-u_y=6xy $$得到：
$$ 6xy+g'(x)=6xy $$所以：
$$ g'(x)=0 $$最终：
$$ v=3x^2y-y^3+C $$解析函数的几何意义
解析函数在导数不为 0 的点附近，会局部保持角度。
这叫 conformality。
直觉是：
$$ f(z_0+h)\approx f(z_0)+f'(z_0)h $$而乘以一个非零复数 $f'(z_0)$，几何上就是缩放 + 旋转。
缩放和旋转会保持角度。
所以 analytic function 在微观上看起来像一个局部的旋转缩放变换。
这也是为什么解析性和几何联系很强。它不只是“函数有导数”，还意味着函数在局部以一种非常有结构的方式变形平面。
解析函数的刚性
实函数可以很灵活。可以局部改一点，拼接一段，构造各种奇怪函数。
解析函数非常刚性。
这种刚性会在后面不断出现：
- C-R 方程把实部和虚部锁在一起
- Cauchy Integral Formula 让边界决定内部
- 解析函数自动无穷可导
- 有界 entire function 必须是常数
- power series 的收敛半径由最近奇点决定
Part II 的重点是：复可导不是普通二维可导。它是一个很强的结构条件，强到足以决定函数后面几乎所有性质。