复数的几何意义
复数有两个基本视角。代数上，$z=x+iy$；几何上，$z\leftrightarrow(x,y)$。在复平面上，实部是横坐标，虚部是纵坐标。
模长 $|z|=\sqrt{x^2+y^2}$ 表示点到原点的距离。辐角 $\arg z=\theta$ 表示从正实轴转到 $z$ 的方向。
因此复数可以写成极坐标形式 $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$。借助 Euler formula $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$，得到更紧凑的指数形式：
$$ z=re^{i\theta} $$这个形式是复分析的入口。很多计算如果留在 $a+bi$ 里，会变成代数展开；写成 $re^{i\theta}$ 后，几何结构直接显出来。
乘法即旋转
如果 $z_1=r_1e^{i\theta_1}$，$z_2=r_2e^{i\theta_2}$，那么 $z_1z_2=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$。也就是说，复数相乘时模长相乘，辐角相加。
这就是你笔记里的核心直觉：乘法即旋转。
不要总去想 $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+i(ad+bc)$。那个公式当然对，但它把几何意义藏起来了。
复数乘法真正做的是两件事：
- 缩放长度
- 旋转角度
比如 $i=e^{i\pi/2}$，所以乘以 $i$ 就是在复平面上逆时针旋转 $90^\circ$。
除法即逆旋转
同理，$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$。也就是模长相除，辐角相减。
除法可以看成乘以倒数。
如果 $z=re^{i\theta}$，那么 $\frac{1}{z}=\frac{1}{r}e^{-i\theta}$。几何上是长度取倒数，并把方向反过来。
这解释了为什么 $w=1/z$ 会把很多区域翻转、反射、送到远处或靠近原点。复函数的代数式经常就是几何动作的组合。
复数开方和多根结构
解 $z^n=w$ 时，先把 $w$ 写成极坐标。由于 $e^{i\theta}=e^{i(\theta+2\pi k)}$，同一个 $w$ 可以写成 $w=re^{i(\theta+2\pi k)}$。于是：
$$ z = r^{1/n}e^{i(\theta+2\pi k)/n},\quad k=0,1,\ldots,n-1 $$这 $n$ 个根模长相同，角度均匀分布在圆上。
比如 $z^5=-32$。因为 $-32=32e^{i\pi}$，所以：
$$ z=2e^{i(\pi+2\pi k)/5},\quad k=0,1,2,3,4 $$复数开根会给出一组对称分布的值，不再只是一个值。这是多值性第一次出现。
复平面上的集合
复分析不只研究点，也研究区域。
常见集合概念：
- Open set：每个点都有一个小邻域完全在集合内
- Closed set：包含所有边界点
- Bounded set：可以被某个大圆盘包含
- Connected set：不能分成两个不相交的开块
- Domain：open and connected set
这些概念重要，是因为解析性通常定义在 domain 上。
比如 $\{z: |z|<1,\ \operatorname{Re}z>0\}$ 是单位圆盘的右半部分，是 open set。$\{z: |z|\leq 1\}$ 是 closed disk，是 closed and bounded。
复分析里，函数在哪个区域解析，区域有没有洞，边界围住了哪些奇点，都会直接影响积分和级数展开。
初等复函数
复指数写成 $e^z=e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)$。它在整个复平面解析，并且有周期 $e^{z+2\pi i}=e^z$。
复三角函数由指数定义：
$$ \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i},\quad \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2} $$在复数里，$\sin z$ 和 $\cos z$ 不再有界。实函数的直觉不能直接搬过来。
复对数写成 $\log z=\ln|z|+i\arg z$。这里真正麻烦的是 $\arg z$：同一个非零复数有无穷多个辐角 $\theta,\theta+2\pi,\theta+4\pi,\ldots$，所以：
$$ \log z = \ln|z| + i(\theta+2\pi k),\quad k\in\mathbb{Z} $$复对数天然是多值函数。
Principal Branch
为了让对数变成单值函数，需要选一个 branch。
最常见的是 principal branch：$\operatorname{Log} z=\ln|z|+i\operatorname{Arg}z$，其中 $-\pi<\operatorname{Arg}z\leq\pi$。
这个选择会在负实轴处出现跳跃。
从上方接近负实轴时，辐角趋近 $\pi$；从下方接近时，辐角趋近 $-\pi$。两个值相差 $2\pi$。
所以必须沿某条线切开复平面，这条线就是 branch cut。
branch cut 的作用是限制定义域，让我们只在一个不会绕回来的区域里选择连续辐角。它并不会改变函数原本的多值性。
复幂
复幂用复对数定义：$z^c=e^{c\log z}$。因为 $\log z$ 多值，所以 $z^c$ 通常也多值。
如果 $c$ 是整数，多值性会消失。
如果 $c$ 不是整数，比如 $1/2$ 或 $i$，不同的 logarithm branch 会给出不同值。
这也是为什么复分析里讨论 $\sqrt{z}$、$\log z$、$z^c$ 时，总要说清楚 branch 和 domain。
映射视角
复函数可以看成平面到平面的映射 $w=f(z)$。
一些基本函数有清楚的几何效果：
- $w=az$：缩放 + 旋转
- $w=z+b$：平移
- $w=z^2$：角度翻倍，模长平方
- $w=e^z$：横向变成模长，纵向变成角度
- $w=1/z$：反演 + 角度取负
这也是复分析和实分析很不一样的地方。一个公式同时在做代数、几何和拓扑变换。
Part I 的重点是把复数从“带 $i$ 的代数对象”转回几何对象。后面讲解析性、积分、奇点时，很多直觉都来自这里：旋转、路径、区域、洞、绕行和 branch。